Analiza matematyczna 1
Zajęcia nr 4

Granice

?Limit

Limit[Sin[x]/x,x-> Infinity]

Założenie:

Limit[x^a,x->Infinity,Assumptions->a==0]

Limit[x^a,x->Infinity,Assumptions->a>0]

Granice   prawostronne i lewostronne

lewostronne:

Limit[1/x,x->0,Direction-> 1]

prawostronne:

Limit[1/x,x->0,Direction->-1]

Zadanie

policzyc granice 
a)  (lim_(n -> ∞))  (((1+(1/n)))^n)
b) (lim_(n -> ∞))  ((sin(n!))/(Sqrt[n]))   
c) (lim_(n -> ∞))  (Sqrt[1+n])-(Sqrt[n]) 
d) (lim_(n -> ∞))  (1/(n^q)) dla q>0
e) (lim_(n -> ∞))  (((2n+1)!-(2n-1)!)/((2n)!n!))
f)  (lim_(n -> ∞))   ((c^n)/(n^k)) dla c>1
g)  (lim_(x -> ∞))   sin(x) 
h)  (lim_(x -> 0))   ((sin(x))/x)

Granice funkcji dwóch zmiennych

(lim_(x-> x0,y->y0))  f(x,y)

A[x_,y_]=x^2 y/(x^2+y^2)

Plot3D[A[x,y],{x,-4,4},{y,-4,4},
AxesLabel->{"x","y","z"}]

Przejście do zmiennych biegunowych

AA[r_,θ_]=A[x,y]/.{x->r Cos[θ],y->r Sin[θ]}

AA[r_,θ_]=Simplify[%]

?Simplify

B[x_,y_]=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)

Plot3D[B[x,y],{x,-4,4},{y,-4,4},
AxesLabel->{"x","y","z"}]

BB[r_,θ_]=Simplify[ B[x,y]/.{x->r Cos[θ],y->r Sin[θ]}]

Limit[BB[r,0] ,r->0]

Limit[BB[r,Pi/2] ,r->0]

Zadanie

1. Zdefiniować funkcję  G(x,y)=((x y)/((x^3)+(y^2)))
2. Narysować wykres 3D dla x∈[-4,4], y∈[-4,4]
3. Przechodząc do zmiennych biegunowych zbadać granicę w punkcie {0,0}

Suma wyrazow ciągu

?Sum

Sum[k^2,{k,10}]

Sum[k^2,{k,n}]

Sum[q^k,{k,0,n}]

Sum[1/(2 k+1)^2,{k,0,Infinity}]

Zadanie

Obliczyć sumy:

a) (Subscript[(∑^∞), k=1])(( (((-1))^(1+k)))/k)
b) (Subscript[(∑^∞), k=0 ]) (1/(2^k))
c) (Subscript[(∑^∞), k=0]) (((2^k)-(3^k) )/(5^k))
d) (Subscript[(∑^∞), k=1 ]) ((Log[k])/(k^2))

Pochodne

?D

f[x_,y_]=1/(x^2+y)

D[f[x,y],x]

D[f[x,y],{x,2}]

D[f[x,y],x,y]

D[f[x,y],{x,2},y]

Zadanie

Oblicz pochodną nastepujących funkcji

a) f (x) = ((tg (x)-ctg (x))/(tg (x)+ctg(x))) , oblicz (d/dx)f
b) f (x) =  ((arcsin(x))/(x^2)),  oblicz ((d^2)/(dx^2))f
c) f (x,y) =  arcsin((y/(x^2))),  oblicz ((d^2)/(dx dy))f

Styczna i normalna do krzywej

f[x_]=Exp[-x ]Sin[x]

p[x_]=D[f[x],x]

Plot[f[x],{x,0,10}]

Plot[p[x],{x,0,10}]

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (Subscript[x, 0])

styczna[x_,x0_]=f[x0]+p[x0]*(x-x0)

Normalna do wykresu funkcji f w punkcie (Subscript[x, 0])

normalna[x_,x0_]=f[x0]-(1/p[x0])*(x-x0)

Wykres stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x=1,y=f(1)

Plot[styczna[x,1],{x,0,4},PlotRange->{-2,2},AspectRatio->1,PlotStyle->Green]

Wykres normalnej do wykresu funkcji f w punkcie x=1,y=f(1)

Plot[normalna[x,1],{x,0,4},PlotRange->{-2,2},AspectRatio->1,PlotStyle->Red]

Show[
Plot[f[x],{x,0,4},PlotRange->{-2,2},AspectRatio->1],
Plot[styczna[x,1],{x,0,4},PlotStyle->Green],
Plot[normalna[x,1],{x,0,4},PlotStyle->Red]
]

?Maximize

Maximize[{p[x],0≤x≤10},x]

Minimize[{p[x],0≤x≤10},x]

Wykres z suwakiem

?Manipulate

Manipulate[
Show[
Plot[f[x],{x,0,4},PlotRange->{-2,2},AspectRatio->1],
Plot[styczna[x,x0],{x,0,4},PlotStyle->Green],
Plot[normalna[x,x0],{x,0,4},PlotStyle->Red]
],
{x0,0,4}]

?DynamicModule

DynamicModule[{x0},
{

Slider[Dynamic[x0],{0,4}],
Dynamic[
Show[
Plot[f[x],{x,0,4},PlotRange->{-2,2},AspectRatio->1],
Plot[styczna[x,x0],{x,0,4},PlotStyle->Green],
Plot[normalna[x,x0],{x,0,4},PlotStyle->Red]
]],
Dynamic["x0="<>ToString[x0]],
Dynamic["f'(x0)="<>ToString[p[x0]]]

}
]

Zadanie

1. Zdefiniuj funkcję
f(x)=x- arctan(x)
oblicz pochodną f’(x)
oraz jej styczną i normalną do wykresu w punkcie (Subscript[x, 0])  (funkcja x i (Subscript[x, 0])).

2. Stwórz DynamicModule zawierający:
- wykres f, jej stycznej x∈ {-1,3}  oraz normalnej
- suwak zmieniający wartość (Subscript[x, 0]) od -1 do 3
- wartość (Subscript[x, 0]) oraz pochodnej f'((Subscript[x, 0])) 

3. Znajdz najwieksza i najmniejsza wartosc pochodnej w przedziale{-1,3}   (funkcje Maximize, Minimalize)