Analiza matematyczna 1
Zajęcia nr 6

Rozwijanie w szereg

?Series

Series[f[x],{x,a,3}]

Series[Sin[x]^2,{x,0,20}]

Normal[%]

CoefficientList[%,x]

Zadanie

a) Napisz wielomian Taylora stopnia 5 w punkcie (Subscript[x, 0]) = 1 dla f(x) = (x^(1/3))
b)  Napisz wielomian Maclaurina stopnia 8 dla funkcji f(x) = ln(1 + x).

Całki

Całki nieoznaczone
∫f(x)dx=F(x)+C

F'(x)= f(x)

?Integrate

Integrate[1/(x^3+1),x]

D[%,x]

Simplify[%]

Zadanie

Oblicz całki nieoznaczone funkcji

a) 1
b)  (1/(Sqrt[1-(x^2)]))
c) (1/(Sqrt[-1+(x^2)]))
d) (1/((cosh(x))^2))
e)(1/x)
d) (x^3) log(((x))^2)
e) (e^(2 x)) (x^4)

A nastepnie oblicz pochodne otrzymanch funkcji

Całki oznaczone

(∫_a^b)f(x)dx=F(b)-F(a)

F[x_]=Integrate[x Exp[-x],x]

F[1]

F[0]

F[1]-F[0]

Integrate[x Exp[-x],{x,0,1}]

Całkowanie numeryczne:

Integrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, 2}]

(∫_0^2)Sin[Sin[x]]\[DifferentialD]x

NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, 2}]

1.24706

Przykład:
Obliczmy pole półkola - pole pomiedzy wykresem funkcji f(x)=(Sqrt[(R^2)-(x^2)])a osią Ox

Integrate[Sqrt[R^2-x^2 ] ,{x,-R,R},Assumptions->R>0]

Zadanie

Oblicz całki oznaczone funkcji

a) 1           od 0 do 10
b)  (1/(Sqrt[1-(x^2)])) od  0 do 1
c) (1/(Sqrt[-1+(x^2)])) od 1 do 2
d) (1/((cosh(x))^2)) od 0 do ∞
e)(1/x)         od 1 do 2
d) (x^3) log(((x))^2)  od 1 do e
e) (e^(2 x)) (x^4)        od 0 do 1

Całki parametryzowane

Krzywa okreslona rownaniami w postaci parametryzowanej
x=g(t) i y=h(t)
Pole obszaru pomiędzy krzywą a osią Ox
(∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))h(t)|g'(t)|dt

Obliczmy pole półkola - pole pomiedzy wykresem funkcji f(x)=(Sqrt[(R^2)-(x^2)])a osią Ox

Wprowadzamy parametryzację
x=R Cos[t]
y=R Sin[t]

x[t_]=R Cos[t]
y[t_]=R Sin[t]

D[x[t],t]

Integrate[ y[t]Abs[D[x[t],t]] ,{t,0,Pi},Assumptions->R>0]

Zadanie

Oblicz pole połowy elipsy o półosiach a i b - pole pomiedzy osią Ox a wykresem funkcji y= f(x)=b(Sqrt[1-(x^2)/(a^2)])
a) najpierw całkując po zmiennej x funkcję f(x)
b)  przekształcić wyrażenie podcalkowe wprowadzając parametryzację:
x(t)=a cos(t)
y(t)=b sin(t)
 i wycałkować po t

Całka długości łuku

L=(∫_a^b)(Sqrt[1+(((f'(x)))^2)])dx
Jesli wprowadzimy parametryzacje x=x(t) i y=y(t)
L=(∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))(Sqrt[((((dy/dt)))^2)+((((dx/dt)))^2)])dt

Obliczmy długość łuku półokręgu

f[x_]=Sqrt[R^2-x^2]

Df=D[f[x],x]

Integrate[Sqrt[1+Df^2],{x,-R,R},Assumptions->R>0]

Wprowadzamy parametryzację
x=R cos(t)
y=R sin(t)

x[t_]=R Cos[t]
y[t_]=R Sin[t]

Dx=D[x[t],t]

Dy=D[y[t],t]

Sqrt[Dx^2+Dy^2]

Integrate[Sqrt[Dx^2+Dy^2],{t,0,Pi},Assumptions->R>0]

Clear[x]

Zadanie

Oblicz długośc krzywej 
f(x)=(Sqrt[x])-((x^(3/2))/3)
a) najpierw całkując f(x) po zmiennej x od 0 do 2
b)  przekształcić wyrażenie podcalkowe wprowadzając parametryzację:
x(t)=(t^2)
y(t)=t-((t^3)/3)
 i wycałkować po t

Bryły obrotowe - obiętość i pole powierzchni

S=2 π(∫_A^B)y dL=2 π(∫_a^b)f(x)(Sqrt[1+(((f'(x)))^2)])dx

y=f(x)

V=π(∫_a^b)(y^2)dx=π(∫_a^b)(((f(x)))^2)dx

Jesli wprowadzimy parametryzacje:
x=x(t) i y=y(t)
S=2 π(∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))y(t)(Sqrt[((((dy/dt)))^2)+((((dx/dt)))^2)])dt
V=π(∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))(y^2)|(dx/dt)|dt

Przykład:
Obliczmy pole i objętość figury powstałej przez obrót krzywej f(x)=(Sqrt[(R^2)+(x^2)]) wokół osi Ox (kula)

Clear[x]

f[x_]=Sqrt[R^2-x^2]

Df=D[f[x],x]

2 Pi Integrate[f[x] Sqrt[1+Df^2],{x,-R,R},Assumptions->R>0]

Pi Integrate[f[x] ^2 ,{x,-R,R},Assumptions->R>0]

Wprowadzamy parametryzację
x=R cos(t)
y=R sin(t)

x[t_]=R Cos[t]
y[t_]=R Sin[t]

2 Pi Integrate[y[t]Sqrt[D[x[t],t]^2+D[y[t],t]^2],{t,0,Pi},Assumptions->R>0]

Pi Integrate[y[t] ^2 Abs[D[x[t],t] ],{t,0,Pi},Assumptions->R>0]

Zadanie

Oblicz pole i objętość figury powstałej przez obrót krzywej y=2(Sqrt[x]) wokół osi Ox 
a) najpierw całkując po zmiennej x od 0 do 3
b) przekształcić wyrażenie podcalkowe wprowadzając parametryzację:
x(t)=(t^2)
y(t)=2t
 i wycałkować po t