Analiza matematyczna 1
Zajęcia nr 7

Moment bezwładności figur względem osi

I=(∫_V)(r^2)dm

niech ρ to stała gęstość, Vρ = M
dm=ρ dv=(M/V)dv
I=(Underscript[(M/V)∫,      V])(r^2)dv

niech σ to stała gęstość powierzchniowa, σS=M
dm=σ ds=(M/S)ds
I=(Underscript[(M/S)∫,     S])(r^2)ds

niech λ to stała gęstość liniowa,  λ L = M
dm=λ dL=(M/L)dL
I=(Underscript[(M/L)∫,     L])(r^2)dL

Moment bezwladnosci cienkiego pręta
wzgędem osi prostopadłej do niego, przechodzacej przez jego środek

M/L*Integrate[x^2,{x,-L/2,L/2},Assumptions->{L>0}]

Zadanie 1

Oblicz moment bezładności cienkiego pręta o długości L
wzgędem osi prostopadłej do niego, przechodzacej przez jego koniec

Obszary geometryczne

Okrąg

Circle[{0,0},R]

?Circle

Przykład: obwód okręgu
(∫_(   okrąg))dL

Integrate[1,{x,y}∈Circle[{0,0},R,{0,2Pi}],Assumptions->R>0]

Dysk (pełne koło)

Disk[{0,0},R]

?Disk

Przykład:  pole koła
(∫_(   koło))ds

Integrate[1,{x,y}∈Disk[{0,0},R,{0,2Pi}],Assumptions->R>0]

Przykład:  pole elipsy
(∫_(   elipsa))ds

Integrate[1,{x,y}∈Disk[{0,0},{a,b},{0,2Pi}],Assumptions->{a>0,b>0}]

Sfera

Sphere[{0,0,0},R]

?Sphere

Przykład: pole sfery
(∫_(   sfera))ds

Integrate[1,{x,y,z}∈Sphere[{0,0,0},R],Assumptions->R>0]

Kula

Ball[{0,0,0},R]

?Ball

Przykład: objętość kuli
(∫_(   kula))dv

Integrate[1,{x,y,z}∈Ball[{0,0,0},R],Assumptions->R>0]

Walec

Cylinder[{{0,0,0},{0,0,h}},R]

?Cylinder

Przykład: objętość walca
(∫_(   walec))dv

Integrate[1,{x,y,z}∈Cylinder[{{0,0,0},{0,0,h}},R],Assumptions->{R>0,h>0}]

Prostopadlościan

Cuboid[{0,0,0},{a,b,c}]

?Cuboid

Przykład: objętość prostopadłościanu
(∫_(   prostopadłościan))dv

Integrate[1,{x,y,z}∈Cuboid[{0,0,0},{a,b,c}],Assumptions->{a>0,b>0,c>0}]

Zadanie 2

Oblicz moment bezładności obręczy o promieni R
a) wzgędem osi prostopadłej do jej płaszczyzny
b) wzgędem osi równoległej do jej płaszczyzny

{,}

Figry 2D

Moment bezwladnosci dysku
wzgędem osi prostopadłej do jego płaszczyzny

S=Pi R^2

M/S*Integrate[x^2+y^2,{x,y}∈Disk[{0,0},R],Assumptions->{R>0}]

Zadanie 3

Oblicz moment bezładności  
a) dysku o promieniu R wzgędem osi równoległej do jego płaszczyzny 
b) sfery o promieniu R
c) prostokąta o bokach a i b wzgędem osi prostopadłej do jego płaszczyzny 
d) prostokąta o bokach a i b wzgędem osi równoległej do jego płaszczyzny

{,,,}

Figry 3D

Moment bezwladnosci walca
wzgędem osi równoległej do jego wysokości

M/V*Integrate[(x^2+y^2),{x,y,z}∈Cylinder[{{0,0,0}, {0,0,h}},R],Assumptions->{R>0,h>0}]

V=Integrate[1,{x,y,z}∈Cylinder[{{0,0,0}, {0,0,h}},R],Assumptions->{R>0,h>0}]

Zadanie 4

Oblicz moment bezładności  
a) walca o promieniu R i wysokości h wzgędem osi prostopadłej do jego wysokości
b) kuli o promieniu R
c) prostopadłościanu o bokach a,b i c

{,,}

Gęstość niejednorodna

Załozmy że ciało nie ma jednorodnej gestości
                              I=(∫_V)(r^2)dm
niech ρ=ρ(x,y,z)  to gęstość
M=(∫_V)ρdv
Nie możemy wyciągnąć  ρ   przed całkę ponieważ ρ zależy od położenia
dm=ρ dv
                                I=(∫_(     V))(r^2)ρ dv

niech σ to gęstość powierzchniowa
M=(∫_S)σ ds
dm=σ ds
                                 I=(∫_S)σ (r^2)ds

niech λ to gęstość liniowa
M=(∫_L)λ dL  
dm=λ ds
                              I=(∫_(    L))λ  (r^2)dL

Zadanie 5

Gęstość kuli jest proporcjonalna do odleglości od środka.
ρ(x,y,z) = α (Sqrt[(x^2)+(y^2)+(z^2)])
a) Jak wspólczynnik α wyraza sie przez promień R i masę kuli M?
b) Oblicz moment bezładności kuli względem osi przechodzacej przez jej srodek.

Zadanie 6

Gęstość walca o wysokości h zmienia sie wzdłuz jego wysokości (oś x) i wyraża sie przez funkcję
ρ(x,y,z) = β cos(((x π)/h) )
czyli przy podstawach (x=±h/2) gęstośc ρ = 0, a w środku walca  ρ(x=0)=β 

a) Jak wspólczynnik  β wyraza sie przez promień R, h i masę walca M?
b) Oblicz moment bezładności walca względem osi prostopadlej do jego wysokości.

If

?If

If[warunek, t, f] zwraca t jesli warunek jest spelniony, a f jesli nie jest spełniony

RegionPlot3D[x^2+y^2+z^2<1&&x^2+y^2<z^2,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},PlotPoints->35]

Objętoć figury

Integrate[  If[x^2+y^2+z^2<1&&x^2+y^2<z^2 ,1,0], {x,-∞,∞} ,{y,-∞,∞}, {z,-∞,∞}]

Zadanie 7

Obliczyć moment bezwładności powyższej figury względem
a) osi symetrii (Oz) 
b) osi prostopadłej do osi symetrii

ρ=const

Zadanie 8

Obliczyć objętość i moment bezwładności  figury względem osi Oz 

ρ=const

RegionPlot3D[x y z<1&&x^2<4&&y^2<4&&z^2<4,{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3},PlotPoints->100]