Analiza matematyczna 3

Pochodna funkcji

pierwsza pochodna:

x'[t]

Derivative[1][x][t]

D[x[t],t]

7. pochodna:

Derivative[7][x][t]

D[x[t],{t,7}]

pochodne funkcji wielu zmiennych:

D[x[t1,t2],t1]

Derivative[1,0][x][t1,t2]

D[x[t1,t2],{t1,2},{t2,3}]

Derivative[2,3][x][t1,t2]

Równania różniczkowe

Przykłady równań:

a)

x'[t]- 5*x[t]==1

b)

x''[t]+4 x[t]==7

c) układ równań

{x1'[t]==x1[t]-2 x2[t],x2'[t]==x1[t]-x2[t]}

d) rownanie z warunkiem poczatkowym

{x'[t]- 5*x[t]==1,x[0]==5}

DSolve

?DSolve

Przykłady

a)

DSolve[x'[t]- 5*x[t]==1,x[t],t]

b)

DSolve[x''[t]+4 x[t]==7,x[t],t]

Zadanie 1

Rozwiąż rownania różniczkowe:
a) 2 x'(t)+ x(t)==0
b)  x''(t)-6 x'(t) +13 x(t)==0
c) (t^3) (x')''(t)+2(t^2)  x''(t)-t x'(t)+x==12 (t^2)

Układ równań

Przykład

DSolve[{x1'[t]==x1[t]-2 x2[t],x2'[t]==x1[t]-x2[t]},{x1[t],x2[t]},t]

Zadanie 2

Rozwiąż uklady rownan:
a)  x'(t)= x(t)+3 y(t)
     y'(t)= 5x(t)+3 y(t)
     
b)  x''(t)=4 y(t) + (e^t)
     y''(t)=4 x(t)- (e^t)

Rownanie z warunkiem poczatkowym

Przyklad

DSolve[{ x'[t]- 5*x[t]==1,x[0]==5},x[t],t]

Zadanie 3

Rozwiaz rownania rozniczkowe z warunkiem poczatkowym
a) x'(t)= 4(t^2+1)  , x(π/4)=1
b)  t x'(t) + x(t) = (e^t)   , x(1)=2
c) L (dJ/dt)+R J(t)=ℰ ,    J(0)=Jo

Zad 4

Rozwiaz rownanie ruchu z siła harmoniczną i z tłumieniem
  (((d^2)x)/(dt^2))+ 2 b (dx/dt)+ (ω^2) x  = 0
  z warunkami poczatkowymi x(0)=0, x’(0)=1
  
 Zapisz rowiazanie w postaci funkcji x[t,b,ω]
  
  narysuj wykres x  od t:
  - dla b=8, ω=4  
  - dla b=1, ω=8
  - dla b=3=ω (najpierw policz granice funkcji x gdy ω->b)

Zad 5

Rozwiaz rownanie ruchu z siła harmoniczną,  z tłumieniem i z sila wymuszajaca
  ((d^2)x)/(dt^2)+2b x’+ (ω^2) x  == F Sin[Ω t]
   z warunkami poczatkowymi x(0)=0, x’(0)=1
  
 Zapisz rowiazanie w postaci funkcji x[t,b,ω,F, Ω]

  Narysuj wykresy od t dla Ω = CzestoscRez[b,ω]
  gdzie
  CzestoscRez[b_,ω_]=Sqrt[ω^2-2 b^2]
  
  Narysuj wykres x  od t:
  - dla b=0.1, ω=8 , F=1  (slabe tlumienie)
  - dla b=2, ω=8 , F=1       (silne tlumienie)

Wrońskian

?Wronskian

Przykład

x’’(t) + 2 x’(t)  +  x(t)  =0

roz=DSolve[ x''[t]+2 x'[t]+x[t]==0,x[t],t]

f1[t_]=x[t]/.roz[[1,1]] /.{C[1]->0,C[2]->1}

f2[t_]=x[t]/.roz[[1,1]] /.{C[1]->1,C[2]->0}

Wronskian[{f1[t],f2[t]},t]

Zad 6

rozwiaz rownanaia i znajdz wronskiany rozwiazań:

a)   (t^2)x’’(t)  + 3 t x’(t)  +  x(t)  =0
b) (1-(t^2))x’’ - 2 t x’(t)  + n(n+1) x(t)  =0
c)  (t^2) x’’ - 2t x’(t)  + ((t^2)-1) x(t)  =0

Równanie  Legendre’a i wielomiany Legendre’a

Zad 7

Dla równania z zad 6 punkt b)
 (1-(t^2))x’’(t) - 2 t x’(t)  + n(n+1) x(t)  =0
wypisz rozwiązania dla  n od 0 do 5 przy pomocy pętli Do

Przykład użycia pętli Do

Do[
 Print[ Subscript[i, n], "=", n], {n, 0,5}
 ]

Zad 8

Narysuj wielominanu Lagrandre’a od n=0 do n=5

Zad 9

Rozwiazac równanie rekurencyjne przy pomocy RSolve  :
(n + 1)(Subscript[a, n+1]) = (2n + 1) t (Subscript[a, n])  − n (Subscript[a, n-1])

?RSolve

Stowarzyszone  funkcje Legendre’a

Zad 10

Rozwiazać stowarzyszone równanie Legendre’a
 (1-(t^2))x’’ - 2 t x’(t)  + n(n+1) x(t)  - m^2/(1-t^2) x(t)  =0
 
 n=0,1,2,3...
 m=0,1,..,n
 wypisz kilka pierwszych funkcji 
 LegendreP[n,m,t] 
 oraz  
  LegendreP[n,m,Cos[z]]  ,  z załozeniem 0<z<π