Szereg Fouriera-Legendre’a

Szereg Fouriera-Legendre’a : (∑_(n=0)^∞)(Subscript[P, n])(t)(Subscript[f, n])
Współczynniki (Subscript[f, n])= (((∫_(-1)^1)(Subscript[P, n])(t) f(t)dt)/((∫_(-1)^1)(((Subscript[P, n])(t))^2)dt)) = ((2n +1)/2)(∫_(-1)^1)(Subscript[P, n])(t) f(t)dt

(∫_(-1)^1)(((Subscript[P, n])(t))^2)dt=(2/(2n +1))

Zadanie 1

Policz kwadrat normy funkcji Legendre’a  (LegendreP[n,t])

(∫_(-1)^1)(((Subscript[P, n])(t))^2)dt
dla n=0, 1, 2, 3

Funkcja zwracajaca współczynniki  Fouriera-Legendre’a

Zdefiniujmy funkcję zwracajaca współczynniki  Fouriera-Legendre’a    (Subscript[f, n]) = ((2n +1)/2)(∫_(-1)^1)(Subscript[P, n])(t) f(t)dt :

FourierLegendre[f_,t_,n_]:=(2n+1)/2Integrate[LegendreP[n,t]*f,{t,-1,1}]

Przykład

Exp[-t]

f[t_]=Exp[-t]

Lista 4 pierwszych współczynników  Fouriera-Legendre’a:

fn=Table[FourierLegendre[f[t],t,n],{n,0,3}]

Lista 4 pierwszych  funkcji Legendre’a:

L= Table[LegendreP[n,t],{n,0,3}]

Suma cześciowa szeregu do n=3   (∑_(n=0)^3)(Subscript[P, n])(t)(Subscript[f, n])  wynosi:

fn.L

Funkcja zwracajaca sumy czesciowe szeregu (∑_(n=0)^k)(Subscript[P, n])(t)(Subscript[f, n]) od k=0 do k=K

WypiszSumyCzesciowe[funkcja_,K_]:=
Module[{Wynik,SumaCzesciowa,L,fn},  (* zmienne lokalne*)

fn=Table[FourierLegendre[funkcja,t,n],{n,0,K}];   (* Lista K+1 pierwszych współczynników Fouriera-Legendre'a *)

    L=Table[LegendreP[n,t],{n,0,K}];  (* Lista K+1 pierwszych  funkcji Legendre'a *)

Wynik={};   (* pusta lista *)
Do[SumaCzesciowa=(Take[L,n]).(Take[fn,n]);Wynik= Append[Wynik,SumaCzesciowa],{n,1,Length[L]}];  (* Tworzy sumy czesciowe i dodaje je do  wyniku*)
Wynik
]

Moduł

?Module

Take

Take[lista,n] zwraca pierwszych n elementów listy

?Take

Append

Append[lista, elem] zwraca listę powiekszoną o element elem

?Append

Przykład

Wykres przedstawiajacy funkcję f oraz sumy czesciowej jej rozwiniecia w szereg Fouriera-Legendre’a n=0,1,2,3

WypiszSumyCzesciowe[f[t],3]

Plot[Evaluate[{f[t],WypiszSumyCzesciowe[f[t],3]}],{t,-1.2,1.2},
PlotRange->{-2,3},
PlotStyle->{{Thickness[.01],Black},Yellow,Orange,Red,Green}, PlotLegends->"Expressions"]

Zadanie 2

Narysuj wykres  przedstawiajacy funkcję f oraz sumy czesciowej jej rozwiniecia w szereg Fouriera-Legendre’a n=0,1,2,3,4,5 dla 
a)f(t)= sinh(t+|t|)
b)f(t)=  Π (t - 0.25)       (funkcja HeavisidePi)

Zadanie 3

Utworz funkcję 
WypiszSumyCzescioweParzyste[funkcja_,K_]
ktora bedzie tworzyc sumy parzystych wyrazów szeregu Fouriera-Legendre’a
(  {(Subscript[f, 0])(Subscript[P, 0]), (Subscript[f, 0])(Subscript[P, 0])+ (Subscript[f, 2])(Subscript[P, 2]),  (Subscript[f, 0])(Subscript[P, 0])+ (Subscript[f, 2])(Subscript[P, 2])+ (Subscript[f, 4])(Subscript[P, 4]),....} )

Narysuj wykresy przedstawiajace funkcję f oraz sumy czesciowe jej rozwiniecia w szereg Fouriera-Legendre’a
a) cos(π t )
b) exp(-|t|)

Trygonometryczny Szereg Fouriera

FourierTrigSeries[expr, t, n]

(Subscript[a, 0])/2+(∑_(k=1)^n)(Subscript[a, k]) cos(k t)+(Subscript[b, k]) sin(k t)

(Subscript[a, k])= (1/π) (∫_(-π)^π)f(t) cos(k t)dt 
(Subscript[b, k])=(1/π) (∫_(-π)^π)f(t) sin(k t)dt

FourierTrigSeries

Wypisuje rozwiniecie funkcji w szerg Fouriera do n-tego wyrazu

?FourierTrigSeries

Przykład

f(t)=t+(t^2)   
t∈(-π,π)

fa[t_]=t+t^2

FourierTrigSeries[fa[t],t,5]

Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[fa[t],t,5]],{t,-1.5Pi,1.5Pi}]

FourierParameters

FourierParameters->{a,b}
domyslnie jest {1,1}

((|(b/π)|)^((1-a)/2))((Subscript[a, 0])/2+(∑_(k=1)^n)(Subscript[a, k]) cos(b k t)+(Subscript[b, k]) sin(b k t))
 (Subscript[a, k])=((|(b/π)|)^((a+1)/2)) (∫_(-π/|b|)^(π/|b|))f(t) cos(b k t)dt 
  (Subscript[b, k])=((|(b/π)|)^((1+a)/2))(∫_(-π/|b|)^(π/|b|))f(t) sin(b k t)dt.

Zmiana granic przedziału
f(t)=t+(t^2)   
t∈(-1,1)

FourierParameters->{1,Pi}

FourierTrigSeries[fa[t],t,5, FourierParameters->{1,Pi}]

Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[fa[t],t,5, FourierParameters->{1,Pi}]],{t,-1.5Pi,1.5Pi}]

WypiszSumyCzescioweTrig[funkcja_,K_, T_]:= (* dla przedziału (-T,T) *)
Module[{Wynik},
Wynik={};
Do[Wynik= Append[Wynik,FourierTrigSeries[funkcja,t,n, FourierParameters-> {1, Pi/T} ]],{n,0,K}];
Wynik
]

Plot[Evaluate[{ fa[t],WypiszSumyCzescioweTrig[fa[t],4,Pi]}],{t,-Pi,Pi},PlotRange->{-2,4},PlotStyle->{{Thickness[.01],Black},Yellow,Orange,Red,Green,Blue}, PlotLegends->"Expressions"]

Zadanie 4

Narysuj wykres  przedstawiajacy funkcję f oraz sumy czesciowej jej rozwiniecia wszereg Fouriera n=0,1,2,3,4 dla 
a)f(t)= exp(-|t|)   dla przedziału (-π,π) 
b)f(t)= sin(1-|t|)   dla przedziału  (-1,1) 
c)f(t)= Π(5*t)   dla przedziału  (-1,1)

Eksponencjalny Szereg Fouriera

FourierSeries[expr, t, n]

(∑_(k=-n)^n)(Subscript[f, k]) exp(k t)

(Subscript[f, k])= (1/(2π)) (∫_(-π)^π)f(t) exp(k t)dt

?FourierSeries

Przykład

F[t_]=t^2

FourierSeries[F[t],t,5]

Transformacja Fouriera

FourierTransform[expr, t, z ]

(1/(Sqrt[2 π]))(∫_(-∞)^∞)f(t)(e^(i z t))dt


InverseFourierTransform[expr, z, t ]

(1/(Sqrt[2 π]))(∫_(-∞)^∞)f(z)(e^(-i z t))dz

Przykład

FourierTransform[F[t],t,z]

InverseFourierTransform[%,z, t]

Zadanie 5

Policz transformacje Fouriera funkcji
a)  exp(-|t|)   
b)  exp(-  (t^2))   
c)  Π(t) 
d)  δ(t)
e)  1
f)  (x^5)
g)  (1/(Sqrt[|t|]))
h) sign(t)
i)  sin(t)
j) sin((t^2))
k)(1/t)
 l)((d^2)/(dt^2))u(t)

Zadanie 6

Aby rozwiazac rownanie dyfuzji
(∂/(∂t)) f(x,t) -  ((∂^2)/(∂(x^2))) f(x,t) = 0 z warunkiem poczatkowym f(x,0)=δ(x)

rozwiaż rownanie będące jego transformacja Fouriera:

(∂/(∂t)) u(k,t) + (k^2) u(k,t) = 0

gdzie u(k,t)  =  (1/(Sqrt[2 π]))(∫_(-∞)^∞)f(x,t)(e^(i k x))dx
( znajdz warunek poczatkowy u(k,0) dla funkcji u(k,t) )

Policz odwrotna transformate Fouriera rozwiazania.


Narysuj Plot3D rozwiazania dla {x,-10,10} oraz {t,0,10}