Ortogonalizacja

Procedura ortogonalizacji ukladu funkcji {(Subscript[f, 1]),...,(Subscript[f, N])} wygląda następująco:

(Subscript[g, 1])=(Subscript[f, 1])(t)
(Subscript[h, 1])=(Subscript[g, 1])/√((∫_a^b)((((Subscript[g, 1])(t)))^2)dt ) 

(Subscript[g, 2])=(Subscript[f, 2])(t)- (Subscript[h, 1])(t)(∫_a^b)(Subscript[h, 1])(t)(Subscript[f, 2])(t)dt 
(Subscript[h, 2])=(Subscript[g, 2])/√((∫_a^b)((((Subscript[g, 2])(t)))^2)dt ) 
.
.
.
(Subscript[g, n])=(Subscript[f, n])(t)- (∑_(i=1)^(n-1))(Subscript[h, i])(t)(∫_a^b)(Subscript[h, i])(t)(Subscript[f, n])(t)dt  
(Subscript[h, n])=(Subscript[g, n])/√((∫_a^b)((((Subscript[g, n])(t)))^2)dt ) 
.
.
itd aż do n = N

otrzymujemy układ funkcji {(Subscript[h, 1]),...,(Subscript[h, N])} ktore są ortogonalne i znormalizowane na odcinku [a,b] (ortonormalne).

L={1,t,t^2,t^3,t^4}

Przykład

2 pierwsze funkcje ortonormalne mają postac:

g1=L[[1]];
h1=g1/Sqrt[ Integrate[g1^2,{t,-1,1}]]

g2=L[[2]]-h1* Integrate[h1*L[[2]],{t,-1,1}];
h2=g2/Sqrt[ Integrate[g2^2,{t,-1,1}]]

Zadanie 1

Napisz funkcję Ortogonalizuj[Lista_], która pobiera liste funkcji i zwraca listę ortonormalnych funkcji na odcinku [-1,1]
Użyj Module[]
Inne przydatne funkcje:

 Sum[expr,{i,1,k}] 
 Append[Lista,element]   (dodaje element do listy) 
 Do[expr,{i,1,k}] 
 Length[Lista]  (długośc listy)
 
Zadziałaj funkcją na listę {1,t,t^2,t^3,t^4}

Zadanie 2

Zmodyfikuj funkcję z poprzedniego zadania tak, aby zwracala listę ortogonalnych funkcji na odcinku [-1,1] i mających wartośc 1 w punkcie t=1.

Zadziałaj funkcją na listę {1,t,t^2,t^3,t^4}

Zadanie 3

Napisz funkcję OrtogonalizujH[Lista_], która pobiera liste funkcji i zwraca listę ortonormalnych funkcji na odcinku [-∞,∞] z wagą exp(-(t^2)), tzn:

(Subscript[g, n])=(Subscript[f, n])(t)- (∑_(i=1)^(n-1))(Subscript[h, i])(t)(∫_∞^(-∞))(Subscript[h, i])(t)(Subscript[f, n])(t)exp(-(t^2))dt  
(Subscript[h, n])=(Subscript[g, n])/√((∫_∞^(-∞))((((Subscript[g, n])(t)))^2)exp(-(t^2))dt ) 


Zadziałaj funkcją na listę {1,t,t^2,t^3,t^4}

Zadanie 4

Zmodyfikuj funkcję z poprzedniego zadania tak, aby zwracala listę ortogonalnych funkcji na odcinku [-∞,∞] z wagą exp(-(t^2)) ale z normą równą

((((∫_(-∞)^∞)(Subscript[h, n])(((t))^2)exp(-(t^2))dt ))^(1/2))= (π^(1/4))  √((2^(n-1))(n-1)! ) 
n=1,2,3,..

Zadziałaj funkcją na listę {1,t,t^2,t^3,t^4}