Wstęp do algebry 
Zajęcia nr 3

Liczby zespolone

Jednostka urojona  - duże i

I

Sqrt[-1]

v=2+5 I

w=1+2I

w+v

w*v

w/v

v^2

Część rzeczywista i zespolona

Re[v]

Im[v]

Sprzeżenie liczby

Conjugate[v]

Abs[v]

Re[1/(a+I b)]

Im[1/(a+I b)]

ComplexExpand[Re[1/(a+I b)]]

ComplexExpand[Im[1/(a+I b)]]

?ComplexExpand

ComplexExpand[Exp[I a]]

Zadanie 1

Zdefiniować dwie liczby zespolone
(Subscript[z, 1])=a + i b
(Subscript[z, 2])=c + i d

i znaleźć część rzeczywista i urojoną
a) iloczynu (Subscript[z, 1])(Subscript[z, 2])
b) ilorazu  (Subscript[z, 1]) / (Subscript[z, 2])
Trzeba będzie użyć funkcji ComplexExpand aby współczynniki a,b,c,d były uznane za rzeczywiste

Postać wykładnicza

Liczbę zespoloną możemy zapisac w postaci wykladniczej
z=|z|(e^(i φ))

argument φ :

Arg[v]

Wartość w stopnich

N[%]*180/Pi

Zdefinujmy funkcję, która przekształca liczbę do postaci wykładniczej:

PostacWykladnicza[z_]=Abs[z] Exp[I Arg[z]]

PostacWykladnicza[v]

Sprawdźmy czy po rozwinieciu postaci wykładniczej otrzymamy pierwotna postac liczby:

ComplexExpand[PostacWykladnicza[v]]

Postac trygonometryczna

chcemy przedstawic liczbe zespoloną w postaci  |z|(cos(φ)+i sin(φ))

Abs[v](Cos[Arg[v]]+I Sin[Arg[v]])

Mathematica upraszcza nam to wyrazenie,  musimy cos zrobic aby trzymala je w postaci |z|(cos(φ)+i sin(φ))

PostacTrygonometryczna[z_]:=Abs[z]*(Cos[InputForm[Arg[z]]]+I Sin[InputForm[Arg[z]]])

PostacTrygonometryczna[v]

PostacTrygonometryczna[Sqrt[3]+I]

PostacWykladnicza[Sqrt[3]+I]

?InputForm

Zadanie 2

Znalezc 
1) część rzeczywistą i urojoną
2) argument  φ i moduł 
3) postac trygonometryczną
4) postać wykładniczą 

liczb zespolonych:
x= 1+ i
y= 1+i (Sqrt[3])

Zadanie 3

Dla liczb zespolonych z poprzedniego zadania sprawdzic reguły
arg(x*y)=arg(x) + arg(y)
arg(x/y)=arg(x) - arg(y)
arg(1/x) = - arg(x)
arg((x^k)) = k arg(x) , dla np k=5

Graficzne przedstawienie liczby zespolonej

Liczbe zespoloną można przedstawić graficznie jako punkt na płaszczyźnie

ListaPunktow={{Re[v],Im[v]}}

Wykres punktowy

ListPlot[ListaPunktow]

Wykres punktowy z dodatkowymi parametrami (położenie osi, zakresy osi, stosunek wysokosci i szerokości, ramka, nazwy, kolor i wielkosc punktu):

WykresPunktowy=ListPlot[ListaPunktow,
AxesOrigin->{0,0},
PlotRange->{{-10,10},{-10,10}},
AspectRatio->1,
Frame->True,
FrameLabel->{{Im,None},{Re,"complex plane"}},
PlotStyle->Directive[Red,PointSize[.03]]
]

Okrąg o promieniu równym modułowi liczby v

Okrag=Graphics@Circle[{0,0},Abs[v]]

Wykres punktowy i okrąg przedstawione razem:

Show[WykresPunktowy,Okrag]

Zadanie 4

Przedstawić  na płaszczyźnie zespolonej liczbę  3+7i ,  liczbę do niej sprzezoną oraz okrąg o promieniu równym ich modulowi

Pierwiastki liczb

Mathematica podaje tylko jedna wartosc pierwiastka:

(-1)^(1/2)

Clear[x]

Rozwiązania równania

Solve[x^2  == -1, x]

s=Solve[x^3 ==2,x]

Wartości rozwiązań

x/.s

WszystkiePierwiastki[z_, n_] := x /. Solve[x^n - z== 0, x]

WszystkiePierwiastki[2,3]

Wartości rozwiązań w postaci wykładniczej:

WszystkiePierwiastkiWykl[z_, n_] := PostacWykladnicza[x]/. Solve[x^n - z== 0, x]

Graficzne przedstawienie pierwiastków

Wszystkie pierwiastki 5-go stopnia liczby 2

s=WszystkiePierwiastki[2,5]

Re[s]

Im[s]

Przedstawmy pierwiastki w postaci listy par {Re(z),Im(z)}

ListaPunktow3=Table[{Re[s[[i]]],Im[s[[i]]]},{i,1,5}]

Przedstawmy wszystkie pierwiastki 5-go stopnia liczby 2 na wykresie

Okrag3:=Graphics@Circle[{0,0},Abs[s[[1]]]]

WykresPunktowy3:=ListPlot[ListaPunktow3,
AxesOrigin->{0,0},
PlotRange->{{-2,2},{-2,2}},
AspectRatio->1,
Frame->True,
FrameLabel->{{Im,None},{Re,"complex plane"}},
PlotStyle->Directive[Red,PointSize[.03]]
]

Show[WykresPunktowy3,Okrag3]

Zadanie 5

Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej  wszystkie pierwiastki 8. stopnia liczby ( 5 i  )  oraz okrąg o promieniu równym ich modulowi