Wstęp do algebry 
Zajęcia nr 4

Sprzeżenie hermitowskie macierzy

Sprzeżeniem hermitowskim macierzy A nazywamy macierz (SuperDagger[A])
(SuperDagger[A])=((OverBar[A])^T)
(Subscript[((SuperDagger[A])), ij])=(Subscript[(OverBar[A]), ji])

jezeli A==(SuperDagger[A]) to macierz A jest hermitowska  (samosprzężona)

A={{1,-I,7},{7,5,8I},{5I+1,6,5}}

A //MatrixForm

Macierz powstała przez sprzeżenie zespolone  elementow macierzy A:

Conjugate[A]  //MatrixForm

Macierz powstała przez sprzeżenie zespolone  elementow macierzy A a nastepnie jej transponowanie:

Transpose[Conjugate[A] ] //MatrixForm

Sprzężenie hermitowskie macierzy A  mozemy uzyskac przy pomocy jednej funkcji ConjugateTranspose[]

ConjugateTranspose[A] //MatrixForm

Czy macierz A jest hermitowska (samosprzeżona)?

ConjugateTranspose[A]==A

HermitianMatrixQ[A]

Iloczyn skalarny

Zdefiniujmy iloczyn skalarny w zespolonej przestrzni liniowej:

Scalar[a_,b_]=a.Conjugate[b]

jest on linowy w pierwszym argumencie i antyliniowy w drugim
(α a , b ) = α ( a , b )
( a ,α b )=(OverBar[α])( a , b )

Zadanie 1

Zdefiniuj macierz 
B=(({{1, -i, 1}, {2, 1+2 i, i}, {1, 1+i, 1}}))
Znajdź macierz sprzeżoną (SuperDagger[B]). 
Czy macierz B jest hermitowska (samosprzeżona)?
Zdefiniuj 2 przykładowe wektory 3-wymiarowe, np w={1,0,i} oraz v={0,2 i, 1}.
Sprawdź że zachodzi:

(B v, w)=(v, (SuperDagger[B])w)

Zadanie 2

Zdefiniuj macierz 
M=(({{a1+i a2, b1+i b2}, {c1+i c2, d1+i d2}}))

liczby (Subscript[a, i]), (Subscript[b, i]), (Subscript[c, i]), (Subscript[d, i])sa rzeczywiste. Jest to ogólna postac macierzy o elementach zespolonych.
Znajdź (SuperDagger[M])  ( ComplexExpand[] i ConjugateTranspose[] )
Sprawdzic warunek, dla ktorego macierz jest hermitowska, czyli M==(SuperDagger[M]) ( funkcja Solve[] )

Macierze Pauliego

Można pokazać, że taka macierz jest kombinacją liniową macierzy jednostkowej (({{1, 0}, {0, 1}}))  i macierzy Pauliego (({{0, 1}, {1, 0}})),(({{0, -i}, {i, 0}})),(({{1, 0}, {0, -1}}))

Simplify[(a1+d1) /2IdentityMatrix[2]  +b1 PauliMatrix[1]   - b2 PauliMatrix[2]   + (a1-d1)/2 PauliMatrix[3] ]  //MatrixForm

Każdą macierz hermitowską 2x2  można wyrazić jako kombinację linową macierzy jednostkowej i macierzy Pauliego, gdzie współczynniki sa liczbami rzeczywistymi

PauliMatrix[1] //MatrixForm

PauliMatrix[2] //MatrixForm

PauliMatrix[3] //MatrixForm

Zadanie 3

Pokazać, że macierze Pauliego mają wlasnosci:
det (Subscript[σ, k]) =-1					 (Det[] )
Tr (Subscript[σ, k]) =0					 (Tr[] )

(Subscript[σ, k])=(SuperDagger[(Subscript[σ, k])])     (hermitowskość) 			 (ConjugateTranspose[] )
(SuperDagger[(Subscript[σ, k])]) =((Subscript[σ, k])^(-1))   (unitarność)  			( Inverse[] )

Oblicz iloczyn dwóch takich samych macierzy Pauliego:
(Subscript[σ, k])(Subscript[σ, k])  						 (Mnożenie macierzy to A.B lub Dot[A,B], n-ta potęga macierzy MatrixPower[A,n])

Pytanie: Czemu bedzie sie równać wyrażenie  ((((Subscript[σ, k])))^N) gdy N jest liczbą parzystą/liczbą nieparzystą?

?MatrixPower

?Dot

Zadanie 4

Sprawdzić własność:
- i (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])(Subscript[σ, 3]) = (({{1, 0}, {0, 1}}))

Zadanie 5

Sprawdzic własność:

 (Subscript[σ, x])(Subscript[σ, y])=i (∑_(z=1)^3)(Subscript[ϵ, xyz])(Subscript[σ, z]) + (Subscript[δ, xy])(({{1, 0}, {0, 1}}))

dla:
a) x=1, y=2
b) x=1, y=3
c) x=1, y=1

(Subscript[δ, xy]) to delta Kroneckera    KroneckerDelta[x,y]
(Subscript[δ, xy])=({{{, ({{1, gdy x=y}, {0, gdy x≠y}})}})

(Subscript[ϵ, xyz]) to symbol Leviego-Civity   Signature[{x,y,z}]

(Subscript[ϵ, xyz]) =({{{, ({{1, gdy x y z to  permutacja parzysta (np 123)}, {({{0}, {-1}}), ({{gdy x=y, y=z lub z=x}, {gdy x y x to permutacja nieparzysta (np 213) }})}})}})

Signature[{1,2,3}]
Signature[{2,1,3}]
Signature[{1,1,3}]

KroneckerDelta[1,1]
KroneckerDelta[1,2]

?KroneckerDelta

?DiracDelta

?Sum

Zadanie 6

Wprowadźmy pojęcie komutatora:
 [a,b]=a b - b a 
 oraz antykomutatora 
 {a,b}=a b+b a
 
 Zdefiniuj funkcje dwóch zmiennych Komutator[a,b] oraz AntyKomutator[a,b] , które pobierają macierze i zwracają ich komutator/antykomutator.
 
 
Sprawdzic własność :

Komutator[(Subscript[σ, x]),(Subscript[σ, y])]=2 i   (∑_(z=1)^3)(Subscript[ϵ, xyz])  (Subscript[σ, z]) 
dla 
a) x=1, y=2 
b) x=1, y=3
c) x=1, y=1

AntyKomutator[(Subscript[σ, x]),(Subscript[σ, y])]=2(Subscript[δ, xy])(({{1, 0}, {0, 1}})) 
dla
a) x=1, y=2 
b) x=1, y=3
c) x=1, y=1

Macierze Pauliego  a SU(2)

u1[x_]:=I x PauliMatrix[1]
u2[x_]:=I x PauliMatrix[2]
u3[x_]:=I x PauliMatrix[3]

u1[x]//MatrixForm
u2[x]//MatrixForm
u3[x]//MatrixForm

?MatrixExp

Zdefinujmy funkcje postaci  (e^(i x (Subscript[σ, k])))

e1[x_]:=MatrixExp[u1[x]]
e2[x_]:=MatrixExp[u2[x]]
e3[x_]:=MatrixExp[u3[x]]

e1[x]//MatrixForm
e2[x]//MatrixForm
e3[x]//MatrixForm

Zadanie 7

Pokaż, że  macierze e1[x], e2[x], e3[x] :
 sa unitarne tzn: (A^(-1))=(SuperDagger[A])
i ich wyznacznik wynosi 1