Wstęp do algebry 
Zajęcia nr 5

Zadanie 1

Wprowadźmy pojęcie komutatora:
 [a,b]=a b - b a 
 oraz antykomutatora 
 {a,b}=a b+b a
 
 Zdefiniuj funkcje dwóch zmiennych Komutator[a,b] oraz AntyKomutator[a,b] , które pobierają macierze i zwracają ich komutator/antykomutator.
 
 
Sprawdzic własność:

Komutator[(Subscript[σ, x]),(Subscript[σ, y])]=2 i   (∑_(z=1)^3)(Subscript[ϵ, xyz])  (Subscript[σ, z]) 
dla 
a) x=1, y=2 
b) x=1, y=3
c) x=1, y=1

AntyKomutator[(Subscript[σ, x]),(Subscript[σ, y])]=2(Subscript[δ, xy])(({{1, 0}, {0, 1}})) 
dla
a) x=1, y=2 
b) x=1, y=3
c) x=1, y=1

Macierze Pauliego  a SU(2)

u1[x_]:=I x PauliMatrix[1]
u2[x_]:=I x PauliMatrix[2]
u3[x_]:=I x PauliMatrix[3]

u1[x]//MatrixForm
u2[x]//MatrixForm
u3[x]//MatrixForm

?MatrixExp

Zdefinujmy funkcje postaci  (e^(i x (Subscript[σ, k])))

e1[x_]:=MatrixExp[u1[x]]
e2[x_]:=MatrixExp[u2[x]]
e3[x_]:=MatrixExp[u3[x]]

e1[x]//MatrixForm
e2[x]//MatrixForm
e3[x]//MatrixForm

Zadanie  2

Pokaż, że  macierze e1[x], e2[x], e3[x] :
- sa unitarne tzn: (A^(-1))=(SuperDagger[A])
- ich wyznacznik wynosi 1

Wartosci własne i wektory wlasne macierzy

Wielomian charakterystyczny

M:={{1,2,0},{2,0,1},{1,0,0}}

M//MatrixForm

Stwóżmy wielomian charakterystyczny:

?IdentityMatrix

IdentityMatrix[3]*λ  //MatrixForm

wielomiancharakterystyczny[λ_]=Det[M-IdentityMatrix[3]*λ]

Wielomian charakterystyczny wywołujemy za pomocą funkcji CharacteristicPolynomial

?CharacteristicPolynomial

CharacteristicPolynomial[M,λ]

Rozwiązujemy równanie  wielomiancharakterystyczny(λ)==0. Rozwiączania to wartości własna macierzy

eigenval=Solve[wielomiancharakterystyczny[λ]==0,λ]

eigenval[[1]]

eigenval[[2]]

eigenval[[3]]

Mamy 3 różne wartości własne.

Stworzymy teraz równania na wektory własne:

Dla pierwszej wartości własnej λ1=-1:

λ1=λ/. eigenval[[1]] (* wartosc własna *)

Solve[M.{x,y,z}==λ1{x,y,z},{y,z}]   (* rownanie na wektor własny *)

v1={x,y,z}/.First[Solve[M.{x,y,z}==λ1{x,y,z},{y,z}]]  (* wektor własny *)

Dla drugiej wartości własnej λ2=1-(Sqrt[3]):

λ2=λ/. eigenval[[2]]  (* wartosc własna *)

Solve[M.{x,y,z}==λ2{x,y,z},{y,z}]  (* rownanie na wektor własny *)

v2={x,y,z}/.First[Solve[M.{x,y,z}==λ2{x,y,z},{y,z}]]   (* wektor własny *)

Dla trzeciej wartości własnej λ3=1+(Sqrt[3]):

λ3=λ/. eigenval[[3]]  (* wartosc własna *)

Solve[M.{x,y,z}==λ3{x,y,z},{y,z}]  (* rownanie na wektor własny *)

v3={x,y,z}/.First[Solve[M.{x,y,z}==λ3{x,y,z},{y,z}]]   (* wektor własny *)

ParametricPlot3D[{v1,v2,v3},{x,0,10},AxesLabel->{"x","y","z"},PlotLegends->"Expressions"]

Uzyskaliśmy całą rodzinę rozwiązań, wektory własne są zdefiniowane z dokładnością do stałej multiplikatywnej.


Rozwiązanie na skróty:

Funkcje Eigenvalues[] , Eigenvectors[], Eigensystem[]

Wartości własne:

Eigenvalues[M]//MatrixForm

Wektory własne

Eigenvectors[M]//MatrixForm

Wektory własne i wartości własne:

Eigensystem[M] //MatrixForm

Pierwszy wektor  wlasny i wartosc wlasna:

w1=Eigenvectors[M][[1]]
L1=Eigenvalues[M][[1]]

Drugi  wektor  wlasny i wartosc wlasna:

w2=Eigenvectors[M][[2]]
L2=Eigenvalues[M][[2]]

Trzeci  wektor  wlasny i wartosc wlasna:

w3=Eigenvectors[M][[3]]
L3=Eigenvalues[M][[3]]

Sprawdzmy czy dzialanie macierzy na pierwszy wektor wlasny jest równe pomnożeniu wektora przez odpowiadająca mu wartość własną:

M.w1//MatrixForm

L1 w1  //MatrixForm

L1 w1==M.w1

Zadanie 3

Znaleźć wartości i wektory własne macierzy
A=(({{3, 0, 0}, {-2, 4, 2}, {-2, 1, 5}}))

a) przy pomocy wielomianu charakterystycznego i równań na wektory własne
b) przy pomocy  Eigenvalues i Eigenvectors

Porównac wynik działania macierzy na wektory włąsne z wynikiem mnożenia wektorów własnych przez odpowiadające im wartości własne

Zadanie 4

Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy Pauliego

Diagonalizacja.

U - macierz, ktorej kolumnami są wektory własne

Macierz  diagonalna:   (U^(-1))M U

U= Transpose[ Eigenvectors[M]]

MacierzOdwrotna=Inverse[U]

MacierzOdwrotna //MatrixForm

M2=Simplify[Inverse[U].M.U]

M2 //MatrixForm

Macierz jest po tej transformacji diagonalna, a na przekątnej mamy wartości własne


Jak zmieniły się wartości i wektory własne?

Eigenvalues[M2]

Eigenvectors[M2]

Zadanie 5

Zdiagonalizować macierz 
A=(({{3, 0, 0}, {-2, 4, 2}, {-2, 1, 5}}))

Warunek diagonalizowalnosci macierzy

DiagonalizableMatrixQ[M]

?DiagonalizableMatrixQ

B={{2,1,0},{0,2,1},{0,0,2}}

B //MatrixForm

DiagonalizableMatrixQ[B]

Eigensystem[B]  //MatrixForm

CharacteristicPolynomial[B,λ]

Solve[CharacteristicPolynomial[B,λ]==0,λ]

Krotność algebraiczna wartości wlasnej  λ= 2 wynosi 3, ile wynosi jej krotnosc geometryczna (wymiar podprzestrzeni rozpietej przez jej wektory wlasne)

Solve[B.{x,y,z}==2{x,y,z},{y,z}]

v1={x,y,z}/.First[Solve[B.{x,y,z}==2{x,y,z},{y,z}]]

Jeden wektor własny odpowiadający wartości własnej λ= 2 - krotnosc geometryczna wynosi 1 a algebraiczna 3. Macierz nie jest diagonalizowalna.

Zadanie 6

Sprawdzic czy macierz S jest diagonalizowalna
S=(({{2, -1, 0, 0}, {-1, 3, -1, 0}, {-1, 2, 1, 0}, {0, 1, 0, 3}}))

Zadanie 7

Policzyć wektory własne i wartości własne macierzy, której elementy to “tabliczka mnożenia” 10x10, następnie sprowadzić macierz do postaci diagonalnej.

T=Table[i*j,{i,1,10},{j,1,10}]