Wstęp do algebry 
Zajęcia nr 6

Warunek diagonalizowalnosci macierzy

M={{2,1,0},{0,2,1},{0,0,2}}

M//MatrixForm

Wektory i wartości własne macierzy M:

Eigensystem[M]  //MatrixForm

Wielomian charakterystyczny macierzy M:

CharacteristicPolynomial[M,λ]

Solve[CharacteristicPolynomial[M,λ]==0,λ]

Krotność algebraiczna wartości własnej  λ - krotność λ jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego.

W tym przypadku krotność algebraiczna wartości wlasnej  λ= 2 wynosi 3

Krotnosc geometryczna  wartości własnej  λ - wymiar podprzestrzeni rozpietej przez wektory wlasne odpowiadające wartości własnej   λ 

Ile wynosi w tym przypadku krotnosc geometryczna  wartości wlasnej  λ= 2?

Eigensystem[M]  //MatrixForm

Solve[M.{x,y,z}==2{x,y,z},{y,z}]

v1={x,y,z}/.First[Solve[M.{x,y,z}==2{x,y,z},{y,z}]]

Jeden wektor własny odpowiadający wartości własnej λ= 2 - krotnosc geometryczna wynosi 1 a algebraiczna 3. Macierz nie jest diagonalizowalna.

Zadanie 1

Dla macierzy:
A=(({{1, 0, 0, 2}, {2, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 0}, {2, 0, 0, 1}}))   oraz    B=(({{1, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 1}, {0, 0, 1, -2}, {0, 0, -1, 2}}))
a) znaleźć wielomian charkterystyczny  (CharacteristicPolynomial)
b) znaleźć wektory i wartości własne (Eigenvectors i Eigenvalues) 

Która z tych macierzy jest diagonalizowalna? (czy krotnośc algebraiczna każdej wartości własnej równa sie jej krotności geometrycznej?)

Zadanie 2

Dla diagonalizowalnej macierzy z poprzedniego zadania
a) Utworzyc macierz przejscia S, której kolumnami sa wektory włąsne macierzy  i zdiagonalizować macierz  
b) Obliczyć 4-tą potegę macierzy  (MatrixPower) i sprawdzic jakie ma wartosci własne

MatrixFunction 
funkcja, której argumentem jest macierz

f-funkcja skalarna

A- macierz, np 2x2

A=(({{(Subscript[A, 1]^1), (Subscript[A, 2]^1)}, {(Subscript[A, 1]^2), (Subscript[A, 2]^2)}}))

f[A] daje efekt:
(({{f[(Subscript[A, 1]^1)], f[(Subscript[A, 2]^1)]}, {f[(Subscript[A, 1]^2)], f[(Subscript[A, 2]^2)]}}))

Natomiast
MatrixFunction[f,A] 
traktuje funkcje f jako funkcje o argumentach macierzowych

f[A] i MatrixFunction[f,A]  nie dają tego samego wyniku!

?MatrixFunction

Przykład 1:

f[x_]=x^3

A={{a,b},{c,d}}

A//MatrixForm

wynikiem f[A] bedzie macierz, której elementy to elementy macierzy A podniesione do potegi 3

f[A]//MatrixForm

Wynikiem MatrixFunction[f,A]  bedzie macierz A podniesiona do potegi 3 (mnozenie macierzowe A.A.A )

MatrixFunction[f,A] //Simplify//MatrixForm

A.A.A //Simplify//MatrixForm

Przykład 2:

B={{1,0},{1,1}}

B//MatrixForm

Exp[B] //MatrixForm

Ten wynik wział sie stąd że:

(({{Exp[(Subscript[B, 1]^1)], Exp[(Subscript[B, 2]^1)]}, {Exp[(Subscript[B, 1]^2)], Exp[(Subscript[B, 2]^2)]}}))=(({{Exp[1], Exp[0]}, {Exp[1], Exp[1]}}))=(({{e, 1}, {e, e}}))


Teraz chcemy uzyskać  (e^B)

MatrixFunction[Exp,B] //Simplify //MatrixForm

Ten wynik wziął sie stąd że:

(e^B)=(∑_(k=0)^∞)(1/(k!))(B^k)=1+B+(1/(2!))(B^2)+(1/(3!))(B^3)+...
dla B=(({{1, 0}, {1, 1}}))
(e^B)=(∑_(k=0)^∞)(1/(k!))MatrixPower[(({{1, 0}, {1, 1}})),k]=(({{1, 0}, {0, 1}}))+(({{1, 0}, {1, 1}}))+(1/(2!))(({{1, 0}, {2, 1}}))+(1/(3!))(({{1, 0}, {3, 1}}))+...=(({{(e^1), 0}, {(e^1), (e^1)}}))

MatrixPower[B,k]

Sum[1/(k!)MatrixPower[B,k],{k,0,Infinity}]

Przykład 3:

f[x_]=1/x

S={{1,2},{3,4}}

f[S] //MatrixForm

MatrixFunction[f,S]//MatrixForm //Simplify

Inverse[S] //MatrixForm

Zadanie 3

Zdefiniuj funkcję f:

f(x)=1 +(x^2) + 4 (x^3) + 2(x^4)+(x^5)


oraz macierz A=(({{3, 0, 0}, {-2, 4, 2}, {-2, 1, 5}}))

a) wygeneruj macierz A2, bedaca wynikiem funkcji f z argumentem macierzowym A ( MatrixFunction z argumentami f i A )
b) znajdz wartosci wlasne macierzy A oraz wartosci wlasne macierzy A2
c) pokaż, że wartosci wlasne A2 to f((Subscript[λ, i])) , gdzie (Subscript[λ, i]) to wartości wlasne macierzy A

to samo zrób dla funkcji f(x)=sin(x)

Diagonalizaja macierzy hermitowskich

Zadanie 4

Stwórz macierz

M=(({{3, -I, -1}, {I, -2, -I}, {-1, I, 3}}))

1) Sprawdź czy jest ona hermitowska, tzn: (SuperDagger[M])==M (ConjugateTranspose)

2) Znajdz jej wektory wlasne (Eigenvectors) i wartości wlasne (Eigenvalues) macierzy M

3) Stwórz macierz przejścia S, ktorej kolumnami sa wektory wlasne i wykonaj działanie
 (S^(-1))M S 
aby otrzmać macierz diagonalną

4) Pokaż, że dla każdej pary v i w różnych wektorów własnych zachodzi
 v.Conjugate[w]==0 (są prostopadłe)
 
5) Unormuj wektory własne (podziel przez ich normę, Norm[]) i stwórz macierz U,  ktorej kolumnami sa unormowane wektory wlasne 
wykonaj działanie (SuperDagger[U])M U 

6) pokaż ze macierz U jest unitarna tzn: (SuperDagger[U])U=(SuperDagger[UU])=1

Zadanie 5

Policzyc wartości własne i wektory własne macierzy, której ementy to “tabliczka mnozenia” 10x10
Sprowadzic macierz do postaci diagonalnej.

T=Table[i*j,{i,1,10},{j,1,10}]

Macierz idempotentna

Macierz idempotentna ma własność:
(A^2)==A

Wartości własne macierzy  idempotętnej to 0 lub 1
 Av = λ v = (λ^2) v = (A^2)v

jeżeli A jest idempotentan to dla dowolnej macierzy nieosobliwej S macierz  (S^(-1 ))A S też jest idempotentna

Zadanie 6

Podzielić  macierz T przez jedyna niezerowa wartosc wlasna
Sprawdzić czy uzyskana macierz jest idempotentna