mgr Marek Miller

Promotor: prof. dr hab. Robert Olkiewicz

Matematyczne metody algebr operatorów w analizie kryterium splątania złożonych układów kwantowych

I recenzent: prof. dr hab. Dariusz Chruściński – UMK

II recenzent: prof. dr hab. Władysław Majewski - UG

Praca przedstawia wyniki dotyczące struktury dodatnich odwzorowań liniowych na algebrach operatorowych, w szczególności na algebrach macierzy, pod kątem ich zastosowań do zagadnień kwantowej teorii informacji, ze szczególnym naciskiem na analizę jednego z kryteriów splątania złożonych ukła- dów kwantowych. Bezpośredni związek badanego kryterium z matematyczną teorią odwzorowań dodatnich stanowi fizyczną motywację do poszukiwania przykładów odwzorowań ekstremalnych, a także badania złożonej struktury tych obiektów. Zaczynając od poprawnej definicji splątania stanów na iloczynie tensorowym algebr von Neumanna lub C*-algebr, w pracy udowodniono twierdzenie analogiczne do kryterium splątania znanego wcześniej w literaturze, jednak tym razem dla najbardziej z fizycznego punktu widzenia ogólnego przypadku iniektywnych algebr von Neumanna oraz tzw. jądrowych C*-algebr. Następnie analizie została poddana struktura odwzorowań dodatnich na nisko wymiarowych algebrach macierzy. Pierwszym krokiem było pełne scharakteryzowanie odwzorowań na algebrze B(C2 ) za pomocą geometrycznych metod znanych z analizy operatorów liniowych na stożkach w przestrzeniach rzeczywistych. Następnie wykorzystane zostały tzw. stabilne podprzestrzenie półgrup generowanych przez odwzorowania dodatnie na B(C 3 ) do uzyskania wstępnej klasyfikacji ekstremalnych odwzorowań dodatnich zachowujących ślad i operator identyczności, czyli tzw. odwzorowań bistochastycznych. Otrzymany rezultat posłużył do zaprezentowania oryginalnego przykładu ekstremalnego odwzorowania dodatniego na algebrze macierzy B(C 3 ), niebadanego wcześniej, który stanowi swego rodzaju nowy element teorii. Pracę kończy rozdział ukazujący istotną rolę elementów idempotentnych w półgrupie bistochastycznych odwzorowań dodatnich oraz wskazujący na dalsze perspektywy badań w tej dziedzinie.
streszczenie , recenzja - prof. dr hab. Dariusz Chruściński , recenzja - prof. dr hab. Władysław Majewski